曲线3y²-4xy+4=0的性质及图像示意图如何画？

曲线3y² - 4xy + 4 = 0的性质为：定义域通过判别式非负确定；单调性由一阶导数分析，反映函数值随自变量变化的趋势；凸凹性由二阶导数符号判断，决定函数图像的弯曲方向。

定义域：将方程视为关于y的二次方程：3y² - 4xy + 4 = 0。判别式Δ = (−4x)² − 4×3×4 = 16x² − 48 ≥ 0，解得x² ≥ 3，即定义域为x ≤ −√3或x ≥ √3。
单调性：对原方程隐函数求导：6y dy/dx − 4(y + x dy/dx) = 0 → dy/dx = (4y)/(6y − 4x) = (2y)/(3y − 2x)。导数符号由分子分母共同决定：
当3y − 2x > 0且y > 0，或3y − 2x < 0且y < 0时，dy/dx > 0，函数单调递增；
当3y − 2x与y符号相反时，dy/dx < 0，函数单调递减。
凸凹性：对一阶导数再次求导，得二阶导数表达式：d²y/dx² = [2(3y − 2x) − 2y×3]/(3y − 2x)² = −4x/(3y − 2x)³。凸凹性由分母与分子的符号决定：
当3y − 2x > 0且x < 0，或3y − 2x < 0且x > 0时，d²y/dx² > 0，函数图像为凹；
当3y − 2x与x符号相反时，d²y/dx² < 0，函数图像为凸。
关键点与图像绘制：选取定义域内的x值（如x = ±2, ±3），代入原方程解出对应的y值，得到关键点坐标。例如：
x = 2时，3y² − 8y + 4 = 0 → y = [8 ± √(64 − 48)]/6 = (8 ± 4)/6 → y = 2或y = 2/3；
x = −2时，3y² + 8y + 4 = 0 → y = [−8 ± √(64 − 48)]/6 = (−8 ± 4)/6 → y = −2/3或y = −2。
将关键点转换为以x为y的函数形式，绘制五点图并调整曲线形状。结合单调性与凸凹性分析，最终图像为两支对称的双曲线，位于x ≤ −√3和x ≥ √3区域，分别向左右两侧延伸。

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